1. Базовые элементы финансовых моделей

Прежде чем мы приступим к изучению финансовой математики, господа, хочу отметить, что новые посты будут выходить примерно 1-2 раза в неделю. Для лучшего понимания материала и связанных с этим банковских услуг, советую внимательно читать содержимое и выписывать самое важное.

Давайте начнем с того, что основными элементами финансовых моделей являются время и деньги. Общий финансовый принцип, определяющий влияние времени на стоимость денег можно сформулировать следующим образом: одна и та же сумма в различные моменты времени имеет различную ценность. С другой стороны, по отношению к определенным условиям разные сумы денег в различные моменты времени могут быть равноценными в финансово-экономическом смысле.

Далее будет дано точное математическое описание основных финансовых понятий, позволяющее дать количественное выражение сформулированному «принципу относительности» временной стоимости денег.

1.1. Временная и денежная шкалы

Временная шкала. Для временной локализации денежных сумм необходимо указание временной шкалы. Под временной шкалой понимается система временных координат, задание которых сводится к указанию:

• начала отсчета, т.е. начального момента времени, по отношению к которому задаются все остальные моменты времени;
• единицы измерения, т.е. базового промежутка или единичного периода, служащего для измерения длительности временных промежутков.

В экономике это обычно год, но может быть выбран любой другой промежуток: полугодие, квартал, месяц и т.д.

Временная шкала допускает наглядное представление в виде «линии времени», т.е. прямой линии с отмеченными моментами времени, связанными с базовым промежутком.

Рис.1.1

На временной шкале (рис. 1.1) точка 0 соответствует начальному моменту времени. Обычно она интерпретируется как текущий (настоящий) момент, т.е. сейчас. Точка с координатой 1 соответствует концу базового промежутка с началом в точке 0. Так, если базовый промежуток – год, то это момент времени год спустя. Точки с координатами ‑1, ‑2 и т.д. соответствуют предыдущим, т.е. прошлым по отношению к началу моментам времени.

Временную шкалу обозначим символом T, а отдельные моменты времени буквой t с индексами, т.е. t1, t2,…, ит.д.

Любые два момента времени t1 и t2 обладают определенным взаимным расположением. Если момент t1 предшествует моменту t2, то t1<>

Любые два различных момента времени t1 и t2 определяют промежуток времени с концами, соответствующими этим моментам. Длина промежутка определяется координатами концов: T = t2 - t1.
В дальнейшем при построении математических моделей финансовых сделок будем фиксировать выбранную временную шкалу. На практике это обычно годовая шкала, конкретная реализация которой зависит от выбранных временных правил (см. ниже).

На практике помимо введенной модельной временной шкалы используется также календарная шкала, основным структурным элементом которой является дата. Календарную шкалу будем обозначать символом K , а для обозначения даты использовать тройку чисел:

∂ ="<"d; m; y">",

где d - день, m - месяц, y - год. Промежуток [∂1, ∂2), называемый промежутком между двумя датами ∂1, ∂2 календарной шкалы обозначим через J(∂1, ∂2), а число дней в этом промежутке - D(J)=D(∂1, ∂2).

Календарным годом будем называть промежуток J(∂1, ∂2), между двумя смежными одноименными датами: d1= d2, m1= m2, y2 = y1+1. Так промежуток между 12.10.04 и 12.10.05 является годом. Промежуток между 01.01.у и 01.01.(у+1) называется стандартным календарным годом.

Дату (29;02;у) будем называть високосной датой. В этом случае у - номер високосного года, т.е. делится на 1000 либо делится на 4, но не делится на 100.
При переходе от практической календарной к модельной годовой шкале существует проблема определения продолжительности в годах промежутков, задаваемых календарными датами. В календарной шкале естественная мера длины – продолжительность временных промежутков в днях. Для дат одного стандартного календарного года она легко вычисляется с помощью функции N(∂) – порядкового номера даты ∂ в календарном году (високосном или невисокосном) (см. Таблицы 1 и 2 Приложения). Если ∂1 и ∂2 – две даты одного года, то точное число дней между этими датами есть

D(∂1, ∂2) = N(∂2) - N(∂1) (1.1)

Например, между 14 февраля (N(∂1)=45) и 27 августа 2005г. (N(∂2) =239) содержится в точности
D(∂1, ∂2)= 239-45=194.
Для високосного 2004г. номер даты 14 февраля остается тем же самым, а для 27 августа увеличивается на единицу (N(∂2) =240). Поэтому число дней между этими датами в 2004г. равно 195.
Точное число дней между датами, относящимися к разным годам, можно определить по формуле

D(∂1, ∂2) =N(∂2) - N(∂1) + 365·(y2-y1) + k (1.2)

где N(∂) – порядковый номер даты по таблице невисокосных лет, k – количество високосных дат между ∂1 и ∂2.
Например, между 14 февраля 1999г. и 27 августа 2005г. содержится в точности
D(∂1, ∂2)= 239-45 +365·(2005-1999) + 2=2386

В финансовой практике встречаются схемы, основанные на приближенном подсчете дней. Идея этих схем состоит в «выравнивании» продолжительности всех месяцев до 30 дней.
Приближенное число дней между двумя датами D~(∂1, ∂2) вычисляется по формуле

D~(∂1, ∂2)= 360·(y2-y1) + 30(m2-m1) + d2-d1 (1.3)

Таким образом, приближенное число дней между 14 февраля и 27 августа в 2005г. (также как и в 2004г.) есть
D~(∂1, ∂2)= 360·0 + 30(8-2) + 27-14=193
Существует несколько способов перехода от календарной к модельной временной шкале, которые основываются на разных временных правилах. Рассмотрим наиболее известные.

Правило ACT/365 (английская практика). Срок между двумя датами в годовой шкале T есть точное число дней между этими датами, определяемое в общем случае по формуле (1.2), деленное на 365:

T=D(∂1, ∂2)/365

Заметим, что продолжительность високосного года составит 366/365, т.е. больше единицы, тогда как продолжительность любого невисокосного года в точности равна единице.

Правило ACT/360 (банковское правило - французская практика). Согласно этому правилу срок между двумя датами в годовой шкале T есть

T=D(∂1, ∂2)/360,

где D(∂1, ∂2) по-прежнему определяется из соотношения (1.2).
Это правило еще в большей степени увеличивает «годовую длину» характерных промежутков. Так, високосный год по этому правилу имеет длину 366/360=1,0167 (год), а невисокосный - 365/360=1,0139(год).
Естественно, чем длиннее период J, тем больше «степень удлинения» в годах. Это правило чаще всего используется в расчетах, касающихся денежного рынка, т.е. рынка краткосрочных долговых обязательств, таких как депозиты в банках, векселя, коммерческие бумаги, депозитные сертификаты и т.д.

Правило 30/360 (немецкая практика). Срок между двумя датами в годовой шкале T есть приближенное число дней между этими датами, определяемое по формуле (1.3), деленное на 360:

T=D~(∂1, ∂2)/360

Несмотря на то, что с развитием вычислительной техники необходимость в упрощенных методах вычислений отпала приближенное правило 30/360, закрепившись в практике, используется и в настоящее время.

Пример 1.1. Найти срок в годах между датами 12 декабря 2004г. и 15 апреля 2005г. по различным правилам.
Решение. Сначала найдем точное число дней между этими датами.
D(∂1, ∂2)=105-346+365=124
Поэтому срок в годах по правилу ACT/365 есть
T=124/365=0,3397,
а по правилу ACT/360
T=124/360=0,3444.
Приближенный срок между датами12 декабря 2004г. и 15 апреля 2005г. есть
D~(∂1, ∂2)= 360·1 + 30(4-12) + 15-12=123,
и срок в годах по правилу 30/360 равен
T =123/360 = 0,3417.

Денежная шкала. В финансовой теории и практике приходится постоянно говорить о различных денежных суммах или о стоимости финансовых активов. Эти величины измеряются в определенных денежных единицах. Задание фиксированной денежной единицы определяет денежную шкалу. В качестве денежной единицы используется основной элемент национальной денежной системы (рубль, доллар США и т.д.). Денежную шкалу будем обозначать символом M, а базисную единицу – e.
Переход от одной денежной шкалы M с базисной единицей e (например, 1 руб.) к другой базисной шкале M' с базисной единицей e' (например, 1 долл.) необходим при расчете мультивалютных сделок. В общем случае
e = сt e',
где зависящий от времени коэффициент сt называется текущим обменным курсом или котировкой валюты e относительно валюты e' .